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Sistemas lineales

Dado un sistema lineal de m ecuaciones con n incógnitas de matriz asociada A  y vector de términos
independientes b, las instrucciones siguientes permiten discutir y resolver el sistema:

LinearSolve[A,b] "Si el sistema es compatible calcula una posible solución"
RowReduce[A] 
Solve[ecuaciones, incógnitas]

Teorema de Rouché-Frobenius

Un sistema lineal   A.x=b   tiene solución si y sólo si el rango de la matriz A del sistema coincide con el rango de la matriz M ampliada de A con la columna de términos independientes:
		 A.x=b tiene solución si y sólo si rg A=rg M
Si el sistema tiene solución, la solución general se obtiene sumando a una solución particular   una combinación lineal de vectores del Ker A :
		Solución general del sistema =solución particular+Ker A

Definamos funciones para averiguar si un sistema lineal tiene solución y en caso afirmativo calcularla

(*Rango de A*)
rg[A_]:=Last[Dimensions[A]]-Length[NullSpace[A]]

(*Matriz M ampliada de A con la columna b de términos independientes*)
M[A_,b_]:=Transpose[Append[Transpose[A],b]]

(*Solución particular de un sistema lineal compatible (A,b)*)
solpart[A_,b_]:=LinearSolve[A,b]

(*Solución general de un sistema lineal compatible (A,b)*)
Solución[A_,b_]:=solpart[A,b]+Array[λ,Length[NullSpace[A]]].NullSpace[A];

(*Discusión y posible solución del sistema*)
Sistema[A_,b_]:=If[rg[A]==rg[M[A,b]],Print["Tiene solución y ésta es: ", Solución[A,b]],Print["No tiene solución"]];

Ejemplo 1: Discutir y resolver el sistema
(({{1, 2, 3, 5}, {1, 3, 4, 7}})).(({{x}, {y}, {z}, {t}}))=(({{1}, {9}}))

A={{1,2,3,5},{1,3,4,7}};
b={1,9};

Sistema[A,b]

Solve[A.{x,y,z,t}==b,{x,y,z,t}]

RowReduce[M[A,b]]//MatrixForm

Ejemplo 2: Discutir y resolver el sistema
(({{1, 2, 3, 1}, {1, 3, 4, 1}, {0, 1, 1, 0}})).(({{x}, {y}, {z}, {t}}))=(({{1}, {2}, {9}}))

m={{1,2,3,1},{1,3,4,1},{0,1,1,0}};
c={1,2,9};

Sistema[m,c]

Solve[m.{x,y,z,t}==c,{x,y,z,t}]

RowReduce[M[m,c]]//MatrixForm

Clear[A,m,b,c]

Ejemplo 3: Discutir y resolver el sistema con las instrucciones LinearSolve , RowReduce y Solve

(({{2, 3, 1}, {3, 4, 1}, {1, 1, 1}})).(({{x}, {y}, {z}}))=(({{1}, {2}, {9}}))

A={{2,3,1},{3,4,1},{1,1,1}};
b={1,2,9};

Sistema[A,b]

RowReduce[M[A,b]]//MatrixForm

Solve[{2x+3y+z==1,3x+4y+z==2,x+y+z==9},{x,y,z}]

{x,y,z}/.Flatten[%]

Clear[A,b]

EJERCICIOS

1. Estudia y resuelve cuando sea posible los siguientes sistemas lineales:

	(a) 2x-3y+z=1, x-y-z=2, 3x-4y=0
	
	(b) x-y+z-t=0, 2x+2y+3t=0, x-z-t=0
	
	(c) y-t=1, x+z-2t=3, x+z-y-t=2

2. Discute en función del parámetro real a el sistema lineal, ax+y+z=1, x+ay+z=a, x+y+az=(a^2), y resuélvelo cuando sea compatible.