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Potencias y exponenciales

Calcular  (A^150)  y   (e^A)  siendo A= (({{1, 0, 2}, {-1, 1, 3}, {0, 1, 1}})).

A=(({{1, 0, 2}, {-1, 1, 3}, {0, 1, 1}}))

(*Polinomio característico y valores propios*)
p=Factor[CharacteristicPolynomial[A,x]]
Solve[p==0,x]

(*Dimensiones de los subespacios de vectores propios*)
Length[NullSpace[A+IdentityMatrix[3]]]
Length[NullSpace[A-2*IdentityMatrix[3]]]

Luego  A no diagonaliza y , por tanto, su anulador es (((-2+x))^2) (1+x). Aplicando el 1º teorema de decomposición:
			(R^3)=Ker(T+I)⊕((Ker(T-2I))^2)
Por cómputo de dimensiones, se deduce que los dos subespacios invariantes de la descomposición son monógenos de anuladores (x+1)  y  (((x-2))^2), respectivamente.
La base de Jordan es {v1, v2, v3=(T-2I)(v2)}, siendo {v1}=Ker(T+I)  y  v2∈((Ker(T-2I))^2) tal que  v2∉Ker(T-2I).
Calculemos explícitamente la forma de Jordan y la base de Jordan asociada:

NullSpace[(A-2IdentityMatrix[3]).(A-2IdentityMatrix[3])]

NullSpace[A-2IdentityMatrix[3]]

(*Base de Jordan*)
{v1}=NullSpace[A+IdentityMatrix[3]];
v2={4,0,1};
v3=(A-2IdentityMatrix[3]).v2;
{v1,v2,v3}

(*Matriz cambio de base*)
B=Transpose[{v1,v2,v3}];MatrixForm[B]

(*Forma de Jordan*)
J=Inverse[B].A.B;MatrixForm[J]

Así,   de  A=B.J.(B^(-1)) se obtiene  (A^150)=B.(J^150).(B^(-1))  y  también  (e^A)=B.(e^J).(B^(-1)). Descomponiendo  J  en suma de una matriz diagonal  d y otra nilpotente n se calculan fácilmente  (J^150) y  (e^J)

d=DiagonalMatrix[{-1,2,2}];
n={{0,0,0},{0,0,0},{0,1,0}};
MatrixForm[J]==MatrixForm[d]+MatrixForm[n]

(*n es una matriz nilpotente de índice 2*)
n.n

Por tanto, como  (n^2)=0 , del desarrollo binómico de  (((d+n))^1500) y  del desarrollo exponencial de  (e^d)  y   (e^n) se obtiene:

(J^150)=(((d+n))^150)=(d^150)+150 (d^149).n=(({{1, 0, 0}, {0, (2^150), 0}, {0, 0, (2^150)}}))+150 (({{-1, 0, 0}, {0, (2^149), 0}, {0, 0, (2^149)}})).(({{0, 0, 0}, {0, 0, 0}, {0, 1, 0}}))=(({{1, 0, 0}, {0, (2^150), 0}, {0, 150*(2^149), (2^150)}}))

(e^J)=(e^((d+n)))=(e^d).(e^n)= (e^d).(I+n) = (({{(e^(-1)), 0, 0}, {0, (e^2), 0}, {0, 0, (e^2)}})).(({{1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {0, 1, 1}}))=(({{(e^(-1)), 0, 0}, {0, (e^2), 0}, {0, (e^2), (e^2)}}))

Así resulta:

(A^150)=B.(J^150).(B^(-1))=(({{-1, 4, -2}, {-2, 0, -1}, {1, 1, -1}})).(({{1, 0, 0}, {0, (2^150), 0}, {0, 150*(2^149), (2^150)}})).(((({{-1, 4, -2}, {-2, 0, -1}, {1, 1, -1}})))^(-1))


(e^A)=B.(e^J).(B^(-1))=(({{-1, 4, -2}, {-2, 0, -1}, {1, 1, -1}})).(({{(e^(-1)), 0, 0}, {0, (e^2), 0}, {0, (e^2), (e^2)}})).(((({{-1, 4, -2}, {-2, 0, -1}, {1, 1, -1}})))^(-1))

Comprobemos estos resultados utilizando el Mathematica :

a=(({{1, 0, 0}, {0, (2^150), 0}, {0, 150*(2^149), (2^150)}})); e=(({{Exp[-1], 0, 0}, {0, Exp[2], 0}, {0, Exp[2], Exp[2]}}));

B.a.Inverse[B]

MatrixPower[A,150]===B.a.Inverse[B]

B.e.Inverse[B]

MatrixExp[A]===B.e.Inverse[B]