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Subespacio incidente

Sea V el subespacio vectorial de E generado por los vectores { (Subscript[v, 1]),......,(Subscript[v, m])}. Su subespacio incidente es el subespacio del espacio dual   (SuperStar[E])cuyos elementos son las formas lineales que se anulan sobre los vectores de V. Por tanto, el subespacio incidente de  V  es el subespacio solución del sistema homogéneo de matriz asociada la matriz cuyas filas son las coordenadas de los vectores { (Subscript[v, 1]),......,(Subscript[v, m])}. Así , representando también por V  la  matriz  { (Subscript[v, 1]),......,(Subscript[v, m])}, se tiene que  Incidente(V)=Ker(V); por lo que en Mathematica definimos:

Incidente[V_]:=NullSpace[V]

Ejemplo 1
Calculemos una base del subespacio incidente con el subespacio V de (R^4) generado por los vectores  (1,2,2,-1), 
(2,-1,3,0) y  (1,-3,1,1).

V={{1,2,2,-1},{2,-1,3,0},{1,-3,1,1}};

Incidente[V]

Luego unas ecuaciones implícitas de V son : x+2y+5t=0 , -8x-y+5z=0.

Recordando que el  incidente del incidente de un subespacio es el propio subespacio:
	- Dado un sistema de generadores de V, podremos encontrar una base de V sin más que calcular el Incidente(Incidente(V)).
	- Dado un sistema de generadores W del incidente con V, es decir unas ecuaciones implícitas de V, podremos encontrar una base de V sin más que calcular el Incidente(W).

Ejemplo 2
Calcular una base del subespacio de (R^4) generado por los vectores {1,2,0,1},{1,-1,3,1},{0,1,-1,0},{1,0,2,1}.

S={{1,2,0,1},{1,-1,3,1},{0,1,-1,0},{1,0,2,1}};

(*Base de S*)
Incidente[Incidente[S]]

Ejemplo 3
Calcular una base del subespacio (Subscript[E, 1]) de (R^4) de ecuaciones implícitas x+2y-t=0, 2x-3y+z-t=0.

(*Incidente de (Subscript[E, 1])*)
W={{1,2,0,-1},{2,-3,1,-1}};

(*Base de (Subscript[E, 1])*)
Incidente[W]

Clear[V,S,W]

EJERCICIOS

1. Define una función que calcule las ecuaciones impícitas de un subespacio conocido un sistema de generadores de éste.

2. Calcula unas ecuaciones implícitas del subespacio  de (R^4) generado por los vectores (Subscript[e, 1])={1,2,3,-1} , (Subscript[e, 2])={-1,1,1,0} , (Subscript[e, 3])={0,3,4,1} , (Subscript[e, 4])={1,-4,-5,-1}

3. Calcula unas ecuaciones implícitas del subespacio imagen del endomorfismo de  (R^4):
       (a) T(x, y, z, t)=(2x-y-3t, x+z, y-z+t, x+3y-2t) 
       (b) f(x, y, z, t)=(2 x-2 y+z+3t , x-8y+5z+t , 4x-7y+2z , 2x-z+t)
       (c) (T^2)-2 T∘ f

4. Calcula una base del subespacio del subespacio de ecuaciones  x+y-3z-t=0 , 2x-3y+z-2t=0 , x-4y+4z-t=0.